答案仅供参考，不保证完全正确 来源为圈内整理和手动，以及： 新高考数学一卷出炉，测测哪些 AI 有实力 搞七捻三 我会让 GPT 5.5 Pro + GPT 5.2 Pro 来打分， 标准： 客观题： 1~8 题为单选题，每题 5 分 9~11 题为多选题，每题 6 分，全选对得 6 分，有错选直接 0 分；如果标准答案有两个，那么选对一个得 3 分；如果标准答案有3 个选项，那么选对一个得 2 分，选对两个得 3 分 12~14 题为填空题，答案一眼看出来和标准答案等价就可以 主观题： 15~… 答案总览 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 B A C D D B B A ACD BC BCD \sqrt{\dfrac{11}{6}} \theta = \dfrac{3\pi}{2} f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 1 \sqrt[3]{\dfrac{3}{2}} 解答题结果： 15 题距离为 1；16 题 \cos A = \dfrac{1}{3} , CE = 3\sqrt{5} ；17 题见分布列与证明；18 题 C : \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1 ，l : y = \dfrac{\sqrt{5}}{2} (x + 1) ， \tan \angle PQR 的最小值为 4\sqrt{3} ；19 题见证明。 一、单项选择题 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 中位数 样本数据 6 ， 8 ， 4 ， 5 ， 12 的中位数为 A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 答案：B 【解析】 将样本数据从小到大排列： 4, 5, 6, 8, 12. 共有 5 个数，中位数是第 3 个数，所以中位数为 6 。 2. 平面向量线性表示唯一性 已知平面向量 \boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b} 不共线，且 2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b} ，则 A. x=2,\ y=-3 B. x=-2,\ y=3 C. x=2,\ y=3 D. x=-2,\ y=-3 答案：A 【解析】 已知 a, b 不共线，且 2a + yb = xa - 3b. 移项得 (2 - x)a + (y + 3)b = 0. 因为 a, b 不共线，所以它们线性无关，于是对应系数均为 0 ： 2 - x = 0, y + 3 = 0. 因此 x = 2, y = -3. 3. 集合交集 已知集合 A=\left\{\sin\frac{7\pi}{6},\ \cos\frac{5\pi}{3},\ \tan\frac{5\pi}{4}\right\},\quad B=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2},\ 1\right\} 则 A\cap B= A. \left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2}\right\} B. \left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 1\right\} C. \left\{-\dfrac{1}{2},\ 1\right\} D. \left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2},\ 1\right\} 答案：C 【解析】 先计算集合 A 中的三个数： \sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}, \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}, \tan\frac{5\pi}{4} = 1. 所以 A = \left\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right\}. 又 B = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right). 两集合的公共元素为 -1/2 和 1 ，故 A\cap B = \left\{-\frac{1}{2}, 1\right\}. 4. 曲线切线方程 曲线 y=5x+8\ln x 在点 (1,\ 5) 处的切线方程为 A. y=3x+2 B. y=5x C. y=8x-3 D. y=13x-8 答案：D 【解析】 曲线为 y = 5x + 8\ln x. 求导得 y' = 5 + \frac{8}{x}. 在 x = 1 处， y'(1) = 5 + 8 = 13. 又曲线过点 (1, 5) ，所以切线方程为 y - 5 = 13(x - 1). 整理得 y = 13x - 8. 5. 抛物线焦点距离 已知抛物线 C_1:y^2=2p_1x\ (p_1>0) 和 C_2:x^2=2p_2y\ (p_2>0) 均经过点 (4,\ 8) ，则 C_1 的焦点与 C_2 的焦点之间的距离为 A. 12 B. 4\sqrt{5} C. 6 D. \dfrac{\sqrt{65}}{2} 答案：D 【解析】 抛物线 C_1 : y^2 = 2p_1x 过点 (4, 8) ，代入得 8^2 = 2p_1 \cdot 4, 64 = 8p_1, p_1 = 8. 标准式 y^2 = 2px 的焦点为 \left(\dfrac{p}{2}, 0\right) ，所以 F_1 = (4, 0). 抛物线 C_2 : x^2 = 2p_2y 过点 (4, 8) ，代入得 4^2 = 2p_2 \cdot 8, 16 = 16p_2, p_2 = 1. 标准式 x^2 = 2py 的焦点为 \left(0, \dfrac{p}{2}\right) ，所以 F_2 = \left(0, \frac{1}{2}\right). 于是两个焦点间距离为 F_1F_2 = \sqrt{(4 - 0)^2 + \left(0 - \frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}. 6. 函数最大值确定参数 已知函数 f(x)=\frac{x+2}{\mathrm e^x+a} 的最大值为 1 ，则 a= A. \dfrac{1}{2} B. 1 C. \dfrac{3}{2} D. 2 答案：B 【解析】 设 f(x) = \frac{x + 2}{\mathrm{e}^x + a}. 求导： f'(x) = \frac{(\mathrm{e}^x + a) - (x + 2)\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x + a)^2} = \frac{a - (x + 1)\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x + a)^2}. 若在 x = x_0 处取得最大值 1 ，则一方面 f'(x_0) = 0, 即 a = (x_0 + 1)\mathrm{e}^{x_0}, 另一方面 f(x_0) = 1, 即 x_0 + 2 = \mathrm{e}^{x_0} + a. 代入 a = (x_0 + 1)\mathrm{e}^{x_0} ，得 x_0 + 2 = \mathrm{e}^{x_0} + (x_0 + 1)\mathrm{e}^{x_0} = (x_0 + 2)\mathrm{e}^{x_0}. x_0 = -2 不可能满足上式的最大值条件，因此可除以 x_0 + 2 ，得到 \mathrm{e}^{x_0} = 1, x_0 = 0. 再代入 a = (x_0 + 1)\mathrm{e}^{x_0} ，得 a = 1. 7. 数列配对成等差数列 108 塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群有 108 座塔，依山势自下而上排成 12 行，将第 i 行中塔的座数记为 a_i\ (i=1,2,\cdots,12) ，其中 a_1=1 ， a_2=a_3=3 ， a_4=a_5=5 ，且 a_6,a_7,\cdots,a_{12} 是一个首项为 7 、公差为 2 的等差数列。将 a_1,a_2,\cdots,a_{12} 分为 6 组，每组两个数，使得每组 the 两个数之和可构成一个项数为 6 且公差为 d\ (d>0) 的等差数列，则 d= A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 答案：B 【解析】 由题意可知这 12 行的塔数依次为 1, 3, 3, 5, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. 先核对总数： 1 + 3 + 3 + 5 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 108, 与题干一致。 将这 12 个数分成 6 组，每组 2 个数。设每组两个数之和依次构成首项为 T 、公差为 d 的等差数列，则这 6 个组和为 T, T + d, T + 2d, T + 3d, T + 4d, T + 5d. 它们的总和仍然等于所有塔数之和 108 ，所以 T + (T + d) + (T + 2d) + (T + 3d) + (T + 4d) + (T + 5d) = 108. 整理得 6T + 15d = 108, 2T + 5d = 36. 因此 T = 18 - \frac{5}{2}d. 题目选项给出的 d 为 2, 4, 6 或无解，逐项排除。 若 d = 2 。此时 T = 18 - 5 = 13 ，六个组和应为 13, 15, 17, 19, 21, 23 。但原来的 12 个数全部是奇数，任意两个奇数之和必为偶数，不可能得到奇数组和。因此 d = 2 不可能。 若 d = 6 。此时 T = 18 - 15 = 3 ，六个组和应为 3, 9, 15, 21, 27, 33 。然而任意一组由两个正整数相加，最小可能和是 1 + 3 = 4 ，不可能得到首项 3 。因此 d = 6 不可能。 若 d = 4 。此时 T = 18 - 10 = 8 ，六个组和应为 8, 12, 16, 20, 24, 28 。下面给出一个可行分组： \begin{aligned} 1 + 7 &= 8, \\ 3 + 9 &= 12, \\ 3 + 13 &= 16, \\ 5 + 15 &= 20, \\ 5 + 19 &= 24, \\ 11 + 17 &= 28. \end{aligned} 这正好把 12 个数全部用完，且组和构成首项为 8 、公差为 4 的等差数列。 因此 d = 4 。 8. 随机变量的数学期望 设 U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},\ i=1,2,3\} 为空间中 64 个点构成的集合，点 P(1,1,1) 。记样本空间 \Omega=\complement_U\{P\} 从 \Omega 中随机选取一个点，定义随机变量 X 如下：对于 \Omega 中的每个点 A(x_1,x_2,x_3) ，令 X(A)=x_1+x_2+x_3 则 X 的数学期望为 A. -\dfrac{1}{21} B. -\dfrac{1}{63} C. 0 D. \dfrac{1}{7} 答案：A 【解析】 集合 U = \{(x_1, x_2, x_3) \mid x_i \in \{-2, -1, 1, 2\}, i = 1, 2, 3\} 共有 4^3 = 64 个点。样本空间为 \Omega = U \setminus \{(1, 1, 1)\}, 所以 \Omega 中共有 63 个点。 在完整集合 U 中，每个坐标的取值 -2, -1, 1, 2 出现次数相同，且 -2 - 1 + 1 + 2 = 0. 因此 \sum_{(x_1,x_2,x_3)\in U} (x_1 + x_2 + x_3) = 0. 被删去的点是 (1, 1, 1) ，其对应的 X = 1 + 1 + 1 = 3 。所以在 \Omega 中， X 的总和为 0 - 3 = -3 。于是数学期望为 E(X) = \frac{-3}{63} = -\frac{1}{21}. 二、多项选择题 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 复数运算 设 z=3+2\mathrm i ，则 A. \overline z=3-2\mathrm i B. |z|=5 C. z^2=5+12\mathrm i D. \dfrac{z+3}{z-\mathrm i}\in\mathbb R 答案：ACD 【解析】 已知 z = 3 + 2\mathrm{i} 。 A 项： \overline{z} = 3 - 2\mathrm{i} ，正确。 B 项： |z| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \neq 5 ，错误。 C 项： z^2 = (3 + 2\mathrm{i})^2 = 9 + 12\mathrm{i} + 4\mathrm{i}^2 = 5 + 12\mathrm{i} ，正确。 D 项： \dfrac{z + 3}{z - \mathrm{i}} = \dfrac{6 + 2\mathrm{i}}{3 + \mathrm{i}} = \dfrac{2(3 + \mathrm{i})}{3 + \mathrm{i}} = 2 \in \mathbb{R} ，正确。 故选 A、C、D。 10. 空间中到定直线距离与二面角 在空间中， A ， B 为两个定点，动点 C 到直线 AB 的距离为 2 ，动点 D 到直线 AB 的距离为 1 。若二面角 C\text{-}AB\text{-}D 为 60^\circ ，则 A. \angle CAD\ge 60^\circ B. CD\ge\sqrt 3 C. 当 AB\perp CD 时， CD\perp 平面 ABD D. 当 AB\perp 平面 ACD 时， AC\perp AD 答案：BC 【解析】 取直线 AB 为 x 轴。设点 C, D 到直线 AB 的垂足在 x 轴上的坐标分别为 c, d 。在垂直于 AB 的平面内，设 u = 点 C 到 AB 的垂直向量， v = 点 D 到 AB 的垂直向量。 由题意 |u| = 2, \quad |v| = 1, \quad \angle(u, v) = 60^{\circ}. 于是 CD^2 = (c - d)^2 + |u - v|^2. 又 |u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2|u||v| \cos 60^{\circ} = 4 + 1 - 2 = 3. 所以 CD^2 = (c - d)^2 + 3 \ge 3 \implies CD \ge \sqrt{3}. B 正确。 若 AB \perp CD ，则 CD 在 x 轴方向上的分量为 0 ，即 c = d 。此时 \vec{CD} = (0, v - u). 它显然垂直于 AB 。再看它与 AD 的关系： \vec{AD} = (d, v), 故 \vec{CD} \cdot \vec{AD} = (v - u) \cdot v = |v|^2 - u \cdot v = 1 - 2 \cdot 1 \cdot \cos 60^{\circ} = 0. 所以 CD \perp AD ，且 CD \perp AB ，从而 CD \perp 平面 ABD 。C 正确。 A 项不一定正确。例如让 C, D 在 AB 方向上的坐标都很大且相同，则 AC, AD 几乎同向， \angle CAD 可趋近于 0^{\circ} 。 D 项也不一定正确。若 AB \perp 平面 ACD ，则 A, C, D 到 AB 的垂足都在 A ，但 AC, AD 在垂直于 AB 的平面内夹角仍为 60^{\circ} ，并不垂直。 11. 三圆截弦长 已知圆 C_1:(x+1)^2+y^2=1,\quad C_2:(x-1)^2+y^2=1,\quad C_3:x^2+(y-\sqrt3)^2=1 直线 l:y=kx+b 与 C_1,C_2,C_3 均有两个交点。设 l 被 C_1,C_2,C_3 截得的弦长分别为 s_1,s_2,s_3 ，则 A. k 可以取任意实数 B. 满足 s_1=s_2=s_3 的直线 l 共有 3 条 C. 满足 s_1+s_2+s_3=3 的直线 l 多于 3 条 D. 当 b=0 时， s_1+s_2+s_3 的最大值为 \dfrac{2\sqrt{21}}{3} 答案：BCD 【解析】 三个圆的圆心分别为 O_1 = (-1, 0), \quad O_2 = (1, 0), \quad O_3 = (0, \sqrt{3}), 半径都为 1 。直线 l : y = kx + b 写成 kx - y + b = 0 。记 N = \sqrt{k^2 + 1}. 圆心到直线的距离分别为 d_1 = \frac{|b - k|}{N}, \quad d_2 = \frac{|b + k|}{N}, \quad d_3 = \frac{|b - \sqrt{3}|}{N}. 对应截弦长为 s_i = 2\sqrt{1 - d_i^2} \quad (i = 1, 2, 3). A 项错误。取 k = -1/\sqrt{3} \implies N = 2/\sqrt{3} 。 要与 C_1 有两个交点，需要 |b - k| < N \iff \left|b + \frac{1}{\sqrt{3}}\right| < \frac{2}{\sqrt{3}} \iff -\sqrt{3} < b < \frac{1}{\sqrt{3}}. 要与 C_3 有两个交点，需要 |b - \sqrt{3}| < N \iff \left|b - \sqrt{3}\right| < \frac{2}{\sqrt{3}} \iff \sqrt{3} - \frac{2}{\sqrt{3}} < b < \sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} \iff \frac{1}{\sqrt{3}} < b < \frac{5}{\sqrt{3}}. 两个开区间没有公共点，所以此时不存在满足题意的 b ，故 k 不能取任意实数。 B 项正确。由 s_1 = s_2 = s_3 可知 |b - k| = |b + k| = |b - \sqrt{3}|. 先由 |b - k| = |b + k| 得 k = 0 或 b = 0 。 若 k = 0 ，则 |b| = |b - \sqrt{3}| \implies b = \frac{\sqrt{3}}{2} ，得到一条直线。 若 b = 0 ，则 |k| = \sqrt{3} \implies k = \pm\sqrt{3} ，得到两条直线。共 3 条。 C 项正确。只看过原点的直线，即取 b = 0 。此时 d_1 = d_2 = \frac{|k|}{\sqrt{k^2 + 1}}, \quad d_3 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{k^2 + 1}}. 要有三个实弦，需 k^2 > 2 。令 u = \sqrt{k^2 - 2} > 0. 则 s_1 + s_2 + s_3 = \frac{4 + 2\sqrt{k^2 - 2}}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{2(2 + u)}{\sqrt{u^2 + 3}}. 令该和等于 3 ，得 \frac{2(2 + u)}{\sqrt{u^2 + 3}} = 3. 两边平方： 4(u + 2)^2 = 9(u^2 + 3), 即 5u^2 - 16u + 11 = 0. 解得 u = 1 或 u = \frac{11}{5} 。 于是至少有 k = \pm\sqrt{3} ， k = \pm\sqrt{\frac{171}{25}} 四条直线满足 s_1 + s_2 + s_3 = 3 ，所以多于 3 条。 D 项正确。当 b = 0 时，上式给出 S(k) = s_1 + s_2 + s_3 = \frac{2(2 + u)}{\sqrt{u^2 + 3}}, \quad u = \sqrt{k^2 - 2} > 0. 令 g(u) = \frac{u + 2}{\sqrt{u^2 + 3}}. 则 g'(u) = \frac{(u^2 + 3) - u(u + 2)}{(u^2 + 3)^{3/2}} = \frac{3 - 2u}{(u^2 + 3)^{3/2}}. 所以最大值在 u = 3/2 处取得。此时 S_{\max} = 2 \cdot \frac{2 + 3/2}{\sqrt{9/4 + 3}} = \frac{7}{\sqrt{21}/2} = \frac{14}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}. 三、填空题 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 双曲线离心率 双曲线 5x^2-6y^2=1 的离心率为 \underline{\qquad} 。 答案： \sqrt{\dfrac{11}{6}} 【解析】 双曲线 5x^2 - 6y^2 = 1 化为标准形式： \frac{x^2}{1/5} - \frac{y^2}{1/6} = 1. 所以 a^2 = \frac{1}{5}, \quad b^2 = \frac{1}{6}. 双曲线满足 c^2 = a^2 + b^2 = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{11}{30}. 离心率 e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{c^2}{a^2}} = \sqrt{\frac{11/30}{1/5}} = \sqrt{\frac{11}{6}}. 13. 三角函数的偶性与单调性 已知 f(x)=2\sin(ax+\theta) ，其中 a\in\mathbb Z,\ 0\le\theta<2\pi 。若 f(x) 是偶函数，且 f(x) 在区间 \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) 单调递增，则 \theta=\underline{\qquad},\qquad f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\underline{\qquad} 答案： \theta = \dfrac{3\pi}{2} ， f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 1 【解析】 已知 f(x) = 2\sin(ax + \theta), \quad a \in \mathbb{Z}, \quad 0 \le \theta < 2\pi. 题设说 f(x) 是偶函数，即 f(-x) = f(x) 对一切 x 成立。因此 \sin(\theta - ax) = \sin(\theta + ax). 两边相减得 \sin(\theta + ax) - \sin(\theta - ax) = 2\cos\theta\sin(ax) = 0. 由于 f(x) 在 \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) 上单调递增，所以 f 不可能是常函数，从而 a \neq 0 。于是 \sin(ax) 不恒为 0 ，必须有 \cos\theta = 0. 又 0 \le \theta < 2\pi ，所以 \theta = \frac{\pi}{2} 或 \theta = \frac{3\pi}{2} 。 情形一： \theta = \frac{\pi}{2} 。此时 f(x) = 2\sin\left(ax + \frac{\pi}{2}\right) = 2\cos(ax). 若 a > 0 ，则在充分靠近 0 的右侧有 f'(x) = -2a\sin(ax) < 0 ；若 a < 0 ，令 m = -a > 0 ，则 f(x) = 2\cos(mx) ，同样在充分靠近 0 的右侧单调下降。因此该情形不可能满足在整个 \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) 上单调递增。 情形二： \theta = \frac{3\pi}{2} 。此时 f(x) = 2\sin\left(ax + \frac{3\pi}{2}\right) = -2\cos(ax). 令 m = |a| ，则 f(x) = -2\cos(mx) ， m \in \mathbb{N}^* 。 求导得 f'(x) = 2m\sin(mx). 若 m = 1 ，则 0 < mx < \frac{\pi}{2} ，所以 f'(x) > 0 ；若 m = 2 ，则 0 < mx < \pi ，所以 f'(x) > 0 。这两种情况都满足单调递增。 若 m \ge 3 ，则 \frac{\pi}{m} < \frac{\pi}{2} ，并且在 x 略大于 \frac{\pi}{m} 时，有 \pi < mx < 2\pi ，从而 \sin(mx) < 0 ，于是 f'(x) < 0 ，不可能在整个 \left(0, \frac{\pi}{2}\right) 上单调递增。 因此 |a| = 1 或 |a| = 2 。 无论 |a| = 1 还是 |a| = 2 ，都有 f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -2\cos\left(a \cdot \frac{2\pi}{3}\right). 当 |a| = 1 时， -2\cos\frac{2\pi}{3} = -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1; 当 |a| = 2 时， -2\cos\frac{4\pi}{3} = -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1. 所以 \theta = \frac{3\pi}{2} ， f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 1 。 14. 数列中连续九项成等比数列 设实数 q 满足：存在数列 \{a_n\} ，使得对于任意 n\in\mathbb N^* ，均有 a_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n 且 \{a_n\} 中有某些连续 9 项 a_k,a_{k+1},\cdots,a_{k+8} 是公比为 q 的等比数列，则 q 的最大值为 \underline{\qquad} 。 答案： \sqrt[3]{\dfrac{3}{2}} 【解析】 题意为：存在数列 \{a_n\} ，使得对任意 n \in \mathbb{N}^* ，均有 a_1 + a_2 + \cdots + a_{3n} = n^2 + n. 令 S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_{3n} = n^2 + n. 相邻两个式子相减，得第 n 个三项块的和为 a_{3n-2} + a_{3n-1} + a_{3n} = S_n - S_{n-1} = (n^2 + n) - [(n - 1)^2 + (n - 1)] = 2n. 也就是说，按每 3 项分块，三项块和依次为 2, 4, 6, 8, \dots, 2n, \dots. 设某连续九项 a_{\ell}, a_{\ell+1}, \dots, a_{\ell+8} 构成公比为 q 的等比数列。由于这些连续项中必含两个或三个完整三项块，而完整三项块的和均为正数，后面将得到 q^3 > 0 ，故最大值只需考虑 q > 0 。 将这九项记为 A, Aq, Aq^2, \dots, Aq^8. 按照 \ell 除以 3 的余数分类讨论。 情形一： \ell \equiv 1 \pmod 3 。 此时九项正好覆盖三个完整三项块。设第一个完整三项块是第 n 个块，则 A(1 + q + q^2) = 2n, Aq^3(1 + q + q^2) = 2(n + 1), Aq^6(1 + q + q^2) = 2(n + 2). 由于 1 + q + q^2 > 0 ，可由前两式相除得 q^3 = \frac{n + 1}{n} ，由后两式相除得 q^3 = \frac{n + 2}{n + 1} 。这要求 \frac{n + 1}{n} = \frac{n + 2}{n + 1}, 即 (n + 1)^2 = n(n + 2), 也就是 n^2 + 2n + 1 = n^2 + 2n, 矛盾。因此此情形不可能出现。 情形二： \ell \equiv 2 \pmod 3 。 设 \ell = 3r + 2 ，其中 r \ge 0 。这九项中包含两个完整三项块：第 r + 2 个块和第 r + 3 个块。对应到等比数列中的项为 Aq^2 + Aq^3 + Aq^4 = 2(r + 2), Aq^5 + Aq^6 + Aq^7 = 2(r + 3). 两式相除得 q^3 = \frac{r + 3}{r + 2}. 因为 r \ge 0 ，所以 q^3 = \frac{r + 3}{r + 2} = 1 + \frac{1}{r + 2} \le \frac{3}{2}. 于是 q \le \sqrt[3]{\frac{3}{2}}. 情形三： \ell \equiv 0 \pmod 3 。 设 \ell = 3r ，其中 r \ge 1 。这九项中包含两个完整三项块：第 r + 1 个块和第 r + 2 个块。对应到等比数列中的项为 Aq + Aq^2 + Aq^3 = 2(r + 1), Aq^4 + Aq^5 + Aq^6 = 2(r + 2). 两式相除得 q^3 = \frac{r + 2}{r + 1} = 1 + \frac{1}{r + 1} \le \frac{3}{2}. 因此仍有 q \le \sqrt[3]{\frac{3}{2}}. 综上，凡能出现的公比 q 都满足 q \le \sqrt[3]{\frac{3}{2}}. 最后说明这个上界可以取到。取 \ell = 2 ，令 q = \sqrt[3]{\frac{3}{2}} 。 连续九项 a_2, a_3, \dots, a_{10} 取为 A, Aq, Aq^2, \dots, Aq^8. 第 2 个完整三项块为 a_4 + a_5 + a_6 ，应等于 4 ，所以令 A(q^2 + q^3 + q^4) = 4. 此时 a_7 + a_8 + a_9 = Aq^5 + Aq^6 + Aq^7 = q^3 A(q^2 + q^3 + q^4) = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6, 正好等于第 3 个三项块的和。其余未被固定的项，例如 a_1, a_{11}, a_{12}, \dots ，可以再按每个三项块和为 2n 的要求补足。因此该上界确实可以达到。 所以 q 的最大值为 \sqrt[3]{\frac{3}{2}} 。 四、解答题 本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 直三棱柱中的线面关系与距离 在直三棱柱 ABC\text{-}A_1B_1C_1 中， \angle ACB=90^\circ ， AC=BC ， D ， E 分别为 AB ， AC_1 的中点。 （1）证明： DE\parallel 平面 BCC_1B_1 ； （2）设 CC_1=2 ，直线 DE 与平面 ACC_1A_1 所成的角为 45^\circ ，求直线 DE 到平面 BCC_1B_1 的距离。 答案：(1) 见证明；(2) 距离为 1。 【解析】 设直三棱柱 ABC - A_1B_1C_1 中 \angle ACB = 90^\circ, \quad AC = BC. 取坐标系如下：令 C = (0, 0, 0), \quad A = (a, 0, 0), \quad B = (0, a, 0), 其中 a = AC = BC 。因为是直三棱柱，设 C_1 = (0, 0, h), \quad A_1 = (a, 0, h), \quad B_1 = (0, a, h). 本题第二问给出 CC_1 = 2 ，所以之后取 h = 2 。 点 D 是 AB 的中点，因此 D = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right). 点 E 是 AC_1 的中点，因此 E = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{h}{2}\right). 所以 \overrightarrow{DE} = E - D = \left(0, -\frac{a}{2}, \frac{h}{2}\right). （1）证明 DE \parallel 平面 BCC_1B_1 。 平面 BCC_1B_1 由点 B = (0, a, 0), \quad C = (0, 0, 0), \quad C_1 = (0, 0, h), \quad B_1 = (0, a, h) 组成，故其方程为 x = 0. 直线 DE 上两点 D, E 的 x 坐标都等于 a/2 ，且方向向量 \overrightarrow{DE} = \left(0, -\frac{a}{2}, \frac{h}{2}\right) 没有 x 分量，说明 DE 的方向平行于平面 x = 0 。又 D, E 不在平面 x = 0 内，所以 DE \parallel \text{平面} BCC_1B_1. （2）求 DE 到平面 BCC_1B_1 的距离。 此时 h = 2 ，所以 \overrightarrow{DE} = \left(0, -\frac{a}{2}, 1\right). 平面 ACC_1A_1 的方程为 y = 0. 其法向量可取 n = (0, 1, 0). 设直线 DE 与平面 ACC_1A_1 所成角为 \alpha ，题给 \alpha = 45^\circ 。线面角满足 \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{DE} \cdot n|}{|\overrightarrow{DE}| |n|}. 代入得 \sin 45^\circ = \frac{a/2}{\sqrt{(a/2)^2 + 1}}. 即 \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a/2}{\sqrt{a^2/4 + 1}}. 两边平方： \frac{1}{2} = \frac{a^2/4}{a^2/4 + 1}. 于是 a^2/4 = 1, a = 2. 平面 BCC_1B_1 为 x = 0 ，直线 DE 上任意点的 x 坐标恒为 a/2 。因为 DE \parallel 该平面，所以线面距离等于任意一点到该平面的距离： \text{dist}(DE, \text{平面} BCC_1B_1) = \frac{a}{2} = 1. 16. 三角形与平行垂直条件 已知在 \triangle ABC 中， AB=3 ， BC=2\sqrt3 ， \cos B=\dfrac{\sqrt3}{3} 。 （1）求 \cos A ； （2）设 D ， E 两点满足： D 在 BA 的延长线上， DE\parallel BC ， AE\perp AC 。若 DE=\sqrt6 ，求 CE 。 答案： \cos A = \dfrac{1}{3} ， CE = 3\sqrt{5} 。 【解析】 已知 AB = 3, \quad BC = 2\sqrt{3}, \quad \cos B = \frac{\sqrt{3}}{3}. （1）求 \cos A 。 由余弦定理， AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cos B. 代入数据： AC^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 9 + 12 - 12 = 9. 所以 AC = 3. 再由余弦定理， \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC} = \frac{9 + 9 - 12}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3}. （2）求 CE 。 建立坐标系。令 A = (0, 0), \quad B = (3, 0). 因为 AC = 3 且 \cos A = 1/3 ，所以 C = (3\cos A, 3\sin A) = (1, 2\sqrt{2}). 于是 \overrightarrow{BC} = C - B = (-2, 2\sqrt{2}). 因为 D 在 BA 的延长线上，所以可设 D = (-t, 0), \quad t > 0. 又 DE \parallel BC ，所以可设 \overrightarrow{DE} = \lambda(-2, 2\sqrt{2}). 于是 E = D + \lambda(-2, 2\sqrt{2}) = (-t - 2\lambda, 2\sqrt{2}\lambda). 由 DE = \sqrt{6} ，且 |\overrightarrow{BC}| = 2\sqrt{3} ，可得 |\lambda| \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{6}, |\lambda| = \frac{\sqrt{2}}{2}. 由于 D 在 BA 的延长线上，最终取 \lambda > 0 。 又 AE \perp AC 。因为 \overrightarrow{AC} = (1, 2\sqrt{2}), \quad \overrightarrow{AE} = (-t - 2\lambda, 2\sqrt{2}\lambda), 所以 \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AC} = 0. 即 (-t - 2\lambda) \cdot 1 + (2\sqrt{2}\lambda)(2\sqrt{2}) = 0. 化简： -t - 2\lambda + 8\lambda = 0, t = 6\lambda. so E = (-8\lambda, 2\sqrt{2}\lambda). 代入 \lambda = \frac{\sqrt{2}}{2} ： E = (-4\sqrt{2}, 2). 于是 CE^2 = (1 + 4\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2} - 2)^2. 分别计算： (1 + 4\sqrt{2})^2 = 1 + 8\sqrt{2} + 32 = 33 + 8\sqrt{2}, (2\sqrt{2} - 2)^2 = 8 - 8\sqrt{2} + 4 = 12 - 8\sqrt{2}. 相加得 CE^2 = 45. 因此 CE = 3\sqrt{5}. 17. 投篮停止次数的分布与无记忆性 设整数 N\ge2 ，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 N 次，当且仅当投中一次时，或 N 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 p\ (0<p<1) ，各次投中与否相互独立。记 X 为停止练习时该同学的投篮次数。 （1）当 N=4 ， p=\dfrac13 时，求 X 的分布列； （2）设 k ， m 均为自然数。 （i）当 k\le N-1 时，求 P(X>k) ； （ii）当 k+m\le N-1 时，证明： P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m) 【解析】 记一次投篮命中的概率为 p ，未命中的概率为 q = 1 - p. 练习至多进行 N 次，且一旦命中就停止；若前 N 次均未命中，也在第 N 次后停止。于是 X = \min\{\text{首次命中的投篮次数}, N\}. （1）当 N=4 ， p = \frac{1}{3} 时，求 X 的分布列。 此时 p = \frac{1}{3}, \quad q = \frac{2}{3}. 对 j = 1, 2, 3 ，事件 X = j 表示前 j - 1 次未中，第 j 次命中，所以 P(X = j) = q^{j-1}p. 当 X = 4 时，只要求前三次都未中；第四次中或不中都会停止，所以 P(X = 4) = q^3. 因此 P(X = 1) = \frac{1}{3}, P(X = 2) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}, P(X = 3) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}, P(X = 4) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}. 分布列为： X 1 2 3 4 P \dfrac{1}{3} \dfrac{2}{9} \dfrac{4}{27} \dfrac{8}{27} 检查： \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{27} = \frac{9}{27} + \frac{6}{27} + \frac{4}{27} + \frac{8}{27} = 1. （2）（i）当 k \le N - 1 时，求 P(X > k) 。 X > k 表示前 k 次均未命中。由于各次投篮相互独立， P(X > k) = q^k = (1 - p)^k. （2）（ii）证明条件概率公式。 当 k + m \le N - 1 时，由上式 P(X > k + m) = (1 - p)^{k+m}, P(X > k) = (1 - p)^k. 于是 P(X > k + m \mid X > k) = \frac{P(X > k + m)}{P(X > k)} = \frac{(1 - p)^{k+m}}{(1 - p)^k} = (1 - p)^m. 又由于 m \le k + m \le N - 1 ，同理 P(X > m) = (1 - p)^m. 因此 P(X > k + m \mid X > k) = P(X > m). 18. 椭圆、面积比与角的最值 已知椭圆 C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0) 的左焦点为 F(-1,0) ，离心率为 \dfrac12 。 （1）求 C 的方程； （2）过 F 且斜率大于 0 的动直线 l 与 C 交于 P ， Q 两点，其中 Q 在第三象限，直线 PO 与 C 的另一个交点为 R 。 （i）若 \triangle PQR 的面积是 \triangle PFO 的面积的 3 倍，求 l 的方程； （ii）求 \tan\angle PQR 的最小值。 【解析】 （1）求椭圆 C 的方程。 已知左焦点为 F(-1, 0) ，故焦距参数 c = 1. 离心率 e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}. 所以 a = 2. 又 b^2 = a^2 - c^2 = 4 - 1 = 3. 故椭圆方程为 \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1. （2）设直线 l 的斜率为 t > 0 。 直线 l 过 F(-1, 0) ，所以 l : y = t(x + 1). 令 x = -1 + \lambda, \quad y = t\lambda. 代入椭圆方程： \frac{(\lambda - 1)^2}{4} + \frac{t^2\lambda^2}{3} = 1. 两边乘以 12 ： 3(\lambda - 1)^2 + 4t^2\lambda^2 = 12. 整理得 (3 + 4t^2)\lambda^2 - 6\lambda - 9 = 0. 设两个根为 \lambda_1 > 0, \quad \lambda_2 < 0. 则 P = F + (\lambda_1, t\lambda_1), \quad Q = F + (\lambda_2, t\lambda_2). 由求根公式，记 s = \sqrt{1 + t^2} ，可得 \lambda_1 = \frac{3 + 6s}{3 + 4t^2}, \quad \lambda_2 = \frac{3 - 6s}{3 + 4t^2}. （i）面积比求直线 l 。 因为椭圆关于原点中心对称，直线 PO 与椭圆的另一个交点为 R = -P. 点 P, F, Q 共线。取 PF 、 PQ 为同一直线上的底边，则 \frac{[\triangle PQR]}{[\triangle PFO]} = \frac{PQ}{PF} \cdot \frac{d(R, l)}{d(O, l)}. 直线 l 的方程为 tx - y + t = 0. 原点到 l 的距离为 d(O, l) = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}. 因为 P 在直线 l 上，且 R = -P ，把 R 代入直线方程可得 d(R, l) = \frac{2t}{\sqrt{1 + t^2}} = 2d(O, l). 所以 \frac{[\triangle PQR]}{[\triangle PFO]} = 2 \cdot \frac{PQ}{PF}. 题设给出 [\triangle PQR] = 3[\triangle PFO] ，因此 \frac{PQ}{PF} = \frac{3}{2}. 又 PF = \lambda_1 \sqrt{1 + t^2} ， PQ = (\lambda_1 - \lambda_2)\sqrt{1 + t^2} ，所以 \frac{PQ}{PF} = \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1} = \frac{3}{2}. 即 \lambda_1 - \lambda_2 = \frac{3}{2}\lambda_1, -\lambda_2 = \frac{1}{2}\lambda_1, \lambda_1 + 2\lambda_2 = 0. 代入 \lambda_1, \lambda_2 ： \frac{3 + 6s}{3 + 4t^2} + 2 \cdot \frac{3 - 6s}{3 + 4t^2} = 0. 分子为 3 + 6s + 6 - 12s = 9 - 6s. so 9 - 6s = 0, s = \frac{3}{2}. 即 \sqrt{1 + t^2} = \frac{3}{2}, t^2 = \frac{5}{4}. 由于 t > 0 ， t = \frac{\sqrt{5}}{2}. 故 l : y = \frac{\sqrt{5}}{2}(x + 1). （ii）求 \tan\angle PQR 的最小值。 向量 \vec{QP} 与直线 l 同向，可取方向向量 v = (1, t). 又 R = -P , Q = F + (\lambda_2, t\lambda_2) ，可得 \overrightarrow{QR} = R - Q = (2, 0) - (\lambda_1 + \lambda_2)(1, t). 由根与系数关系， \lambda_1 + \lambda_2 = \frac{6}{3 + 4t^2}. 记 S = \lambda_1 + \lambda_2 = \frac{6}{3 + 4t^2}. 则 \overrightarrow{QR} = (2 - S, -St). 于是 |v \times \overrightarrow{QR}| = |1 \cdot (-St) - t(2 - S)| = 2t, v \cdot \overrightarrow{QR} = 2 - S - St^2 = 2 - S(1 + t^2). 代入 S = \frac{6}{3+4t^2} ： 2 - S(1 + t^2) = 2 - \frac{6(1 + t^2)}{3 + 4t^2} = \frac{2t^2}{3 + 4t^2} > 0. 所以 \tan\angle PQR = \frac{|v \times \overrightarrow{QR}|}{v \cdot \overrightarrow{QR}} = \frac{2t}{\frac{2t^2}{3+4t^2}} = \frac{3 + 4t^2}{t} = 4t + \frac{3}{t}. 由 t > 0 ，利用基本不等式，或直接求导： 4t + \frac{3}{t} \ge 2\sqrt{4t \cdot \frac{3}{t}} = 4\sqrt{3}. 等号在 4t = \frac{3}{t} ，即 t = \frac{\sqrt{3}}{2} 时成立。因此 \tan\angle PQR_{\min} = 4\sqrt{3}. 19. 集合 D(x_0) 与函数单调性 已知函数 f(x) 的定义域为 \mathbb R ，且当 x<0 时， f(x)=2^x 。对任意 x_0\in\mathbb R ，定义集合 D(x_0)=\{d\in\mathbb R\mid f(x_0+d)>f(x_0)\} （1）若当 x\ge0 时， f(x)=1-x ，求 D(-1) ； （2）若 f(x) 是奇函数， f(x_1)\le f(x_2) 且 x_1,x_2\ne0 ，证明： D(x_2)\subseteq D(x_1) （3）设 f(x) 满足： ① 若 f(x_1)\le f(x_2) ，则 D(x_2)\subseteq D(x_1) ； ② 当 0<x<1 时， f(x)<f(0) 。 （i）证明： f(0)\ge1 ； （ii）证明： f(x) 在区间 (0,+\infty) 单调递增。 定义 D(x_0) = \{d \in \mathbb{R} \mid f(x_0 + d) > f(x_0)\}. 也就是说， d \in D(x_0) 表示从 x_0 平移 d 后，函数值严格增大。 （1）求 D(-1) 。 当 x < 0 时， f(x) = 2^x ；当 x \ge 0 时， f(x) = 1 - x 。 先算 f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}. 要求 f(-1 + d) > \frac{1}{2}. 令 y = -1 + d 。分两种情况。 若 y < 0 ，即 d < 1 ，则 f(y) = 2^y > \frac{1}{2} = 2^{-1} \iff y > -1. 即 -1 < -1 + d < 0 \implies 0 < d < 1. 若 y \ge 0 ，即 d \ge 1 ，则 f(y) = 1 - y = 1 - (-1 + d) = 2 - d. 要求 2 - d > \frac{1}{2} \implies d < \frac{3}{2}. 结合 d \ge 1 ，得 1 \le d < \frac{3}{2}. 合并两段： D(-1) = \left(0, \frac{3}{2}\right). （2）奇函数情形下的包含关系。 若 f 是奇函数，且 x < 0 时 f(x) = 2^x ，则 f(0) = 0, 并且当 x > 0 时， f(x) = -f(-x) = -2^{-x}. 因此 f(x) = \begin{cases} 2^x, & x < 0, \\ 0, & x = 0, \\ -2^{-x}, & x > 0. \end{cases} 先求 D(x_0) 的形式。 若 x_0 < 0 ，则 f(x_0) = 2^{x_0} > 0 。要使 f(x_0 + d) > f(x_0) ，只能仍在负半轴且指数变大，即 x_0 < x_0 + d < 0. 所以 D(x_0) = (0, -x_0), \quad x_0 < 0. 若 x_0 > 0 ，则 f(x_0) = -2^{-x_0} < 0 。若 x_0 + d < 0 或 x_0 + d = 0 ，函数值分别为正数或 0 ，都大于 f(x_0) ；若 x_0 + d > 0 ，则 -2^{-(x_0+d)} > -2^{-x_0} \iff x_0 + d > x_0 \iff d > 0. 所以 D(x_0) = (-\infty, -x_0] \cup (0, +\infty), \quad x_0 > 0. 现设 f(x_1) \le f(x_2), \quad x_1x_2 \neq 0. 分情况讨论。 若 x_1, x_2 < 0 ，则 2^{x_1} \le 2^{x_2} ，所以 x_1 \le x_2 ，从而 (0, -x_2) \subset (0, -x_1), 即 D(x_2) \subset D(x_1). 若 x_1, x_2 > 0 ，则 -2^{-x_1} \le -2^{-x_2} \iff 2^{-x_1} \ge 2^{-x_2} \iff x_1 \le x_2. 于是 (-\infty, -x_2] \subset (-\infty, -x_1], 且 (0, +\infty) 相同，所以 D(x_2) \subset D(x_1). 若 x_1 > 0, x_2 < 0 ，则 f(x_1) < 0 < f(x_2), 题设 f(x_1) \le f(x_2) 自动成立。此时 D(x_2) = (0, -x_2) \subset (0, +\infty) \subset D(x_1). x_1 < 0, x_2 > 0 时， f(x_1) > 0 > f(x_2) ，不可能满足 f(x_1) \le f(x_2) 。 综上，结论成立： D(x_2) \subset D(x_1). （3）（i）证明 f(0) \ge 1 。 反设 f(0) < 1. 由于 \lim_{t\to 0^-} 2^t = 1, 可取 t \in (-1, 0) ，使得 f(0) < 2^t = f(t) < 1. 于是 f(0) < f(t). 由条件 1，取 x_1 = 0, x_2 = t ，得 D(t) \subset D(0). 又因为 t < 0 ，取 d = -\frac{t}{2}. 则 t + d = \frac{t}{2} < 0, 且 f(t + d) = 2^{t/2} > 2^t = f(t), 所以 d \in D(t). 由 D(t) \subset D(0) 得 d \in D(0), 即 f(d) > f(0). 但 t \in (-1, 0) ，所以 0 < d < \frac{1}{2} < 1. 由条件 2， f(d) < f(0), 矛盾。因此 f(0) \ge 1. （3）（ii）证明 f(x) 在区间 (0, +\infty) 单调递增。 先证明一个关键结论： x > 0 \implies f(x) \le 0. 第一步，证明 0 < x < 1 时 f(x) \le 0 。反设存在 x \in (0, 1) 使 f(x) > 0. 由条件 2 有 f(x) < f(0), 所以 -x \in D(x), 因为 x + (-x) = 0, f(0) > f(x). 又可取足够小的 t < 0 ，使 2^t = f(t) < f(x). 于是 f(t) \le f(x) 。由条件 1， D(x) \subset D(t). 因此 -x \in D(t). 这意味着 f(t - x) > f(t). 但 t - x < t < 0 ，在负半轴上 f(u) = 2^u 严格递增，所以 f(t - x) = 2^{t-x} < 2^t = f(t), 矛盾。故 0 < x < 1 \implies f(x) \le 0. 第二步，把结论推广到所有 x > 0 。任取 y > 0 ，取一个 x \in (0, \min\{1, y\}). 刚才已知 f(x) \le 0 。再任取 M > y ，则 x - M < y - M < 0. 因为负半轴上 f(u) = 2^u 严格递增，所以 f(x - M) < f(y - M). 由条件 1， D(y - M) \subset D(x - M). 若 f(y) > 2^{y-M} = f(y - M) ，则 M \in D(y - M), 从而 M \in D(x - M). 这会推出 f(x) > f(x - M) = 2^{x-M} > 0, 与 f(x) \le 0 矛盾。因此对一切 M > y ，都有 f(y) \le 2^{y-M}. 令 M \to +\infty ，得 f(y) \le 0. 由于 y > 0 任意，关键结论成立。 最后证明严格递增。任取 0 < x < y. 令 h = y - x > 0. 由关键结论， f(x) \le 0. 取 t < -h ，则 t < 0, t + h < 0. 在负半轴上 f(u) = 2^u 严格递增，所以 f(t + h) = 2^{t+h} > 2^t = f(t). 因此 h \in D(t). 又因为 f(x) \le 0 < 2^t = f(t), 由条件 1 可得 D(t) \subset D(x). 于是 h \in D(x). 这正是 f(x + h) > f(x), 即 f(y) > f(x). 所以 f(x) 在 (0, +\infty) 上严格单调递增。 6 个帖子 - 5 位参与者 阅读完整话题
往bitget虚拟卡里充了10美金，bybit虚拟+实体也都整上了，暂时感觉也不需要更多卡了 暂时想不到除了充openrouter，或者红p以及蓝p买nsfw赞助图包外的用途，也许还有开ai会员？万代手游webstore来氪金似乎也行 appstore试了绑不上，applepay和paypal倒可以，佬们第一笔刷u卡拿来干啥比较多？ 1 个帖子 - 1 位参与者 阅读完整话题
四卡训练，已经显式指定了gpu编号 export CUDA_VISIBLE_DEVICES=4,5,6,7，目前就是卡在这里一直不动 [rank0]:[W513 02:56:19.001482657 ProcessGroupNCCL.cpp:4561] [PG ID 0 PG GUID 0 Rank 0] using GPU 0 to perform barrier as devices used by this process are currently unknown. This can potentially cause a hang if this rank to GPU mapping is incorrect. Specify device_ids in barrier() to force use of a particular device, or call init_process_group() with a device_id. 2 个帖子 - 2 位参与者 阅读完整话题
移动多卡都行 可能随时没有 移动app底部中间 灵犀 发送【灵犀在线宠你】 随机得话費加赠 佬友记得早点去~~~ 5 个帖子 - 5 位参与者 阅读完整话题
复制文字自动换行就输出了 还有文字一多卡顿 咋整 9955hx 64g日常使用好卡 跟养蛊一样的 1 个帖子 - 1 位参与者 阅读完整话题
本帖使用社区开源推广，符合推广要求。我申明并遵循社区要求的以下内容： 我的帖子已经打上 开源推广 标签： 是 我的开源项目完整开源，无未开源部分： 是 我的开源项目已链接认可 LINUX DO 社区： 是 我帖子内的项目介绍，AI生成、润色内容部分已截图发出： 是 以上选择我承诺是永久有效的，接受社区和佬友监督： 是 以下为项目介绍正文内容，AI生成、润色内容已使用截图方式发出 帮我同学推广一下他们的新工作： 【开源】4090多卡大模型训练框架，全量微调32B模型提速25倍 很多佬友自己或组里有只几张PCIe显卡，比如4090或PCIe版A100，在网上租也大部分是这种卡。用这些卡跑大模型微调的时候通常都会遇到多卡并行严重掉速，GPU 利用率很低。 主要原因就是现有的大多数开源微调框架，一般只能给你搞 数据并行 (DP) + CPU/内存卸载 (Offload) 这一套，计算全被PCIe通信卡住了。 因此，我的同学做了一个专门针对这种情况优化的训练框架，到站里分享给佬友，也希望听听佬友们的建议。 开源地址 项目主页与文档 itcarrot.github.io 主页 - RoundPipe Github github.com GitHub - ITcarrot/RoundPipe: Large DNNs training framework for consumer GPUs Large DNNs training framework for consumer GPUs 性能情况 在4090上能全量微调32B模型，LoRA微调235B，速度是现有开源框架的1.4-28倍；（论文里要和之前的没开源代码的方法比，就只有1.4-2.16倍加速） 支持28k+的上下文输入，几B的小模型能支持到49k+，大部分数据集都够用了 在有全向NVLINK的服务器上，我们框架不用NVLINK达到了使用NVLINK框架的98%+性能，8x4090也能达到8A800 SXM性能的76%以上，说明我们框架只用PCIe也不会损失性能 现在框架提供了和pytorch单卡训练类似的API，也有详细的文档，欢迎佬友们提意见和issue，看看有什么可以继续改进的。 1 个帖子 - 1 位参与者 阅读完整话题
终于3级了！访问天数最后几天多卡了几天 收集了很多中转站，最近也尝试用AI写点代码相关的 经常查看B站热门视频榜单，但是很多视频根本不会打开看，或许是因为懒，或许是因为题材不喜欢，但是热门视频总有可以学习的地方看个视频封面和标题总不行把！ 于是就有了这个B站热门视频打开的 .py 脚本： #!/usr/bin/env python3 # -*- coding: utf-8 -*- """ Bilibili 热门视频排行榜抓取脚本 支持按每组10个分页浏览、一键打开链接、循环提取 无需登录，直接运行即可 """ import json import sys import subprocess import webbrowser import time def install_requests(): """安装 requests 库""" print("检测到缺少 requests 库，正在自动安装...") try: subprocess.check_call( [sys.executable, "-m", "pip", "install", "requests", "--user"], stdout=subprocess.DEVNULL, stderr=subprocess.DEVNULL ) print("requests 安装完成！\n") return True except Exception as e: print(f"自动安装失败: {e}") print("请手动运行: pip install requests") return False def ensure_requests(): """确保 requests 已安装""" try: import requests return requests except ImportError: if install_requests(): import requests return requests return None def format_number(num): """格式化数字，超过 1 万显示为 x.x 万""" if num >= 10000: return f"{num / 10000:.1f}万" return str(num) def get_bilibili_hot(requests): """获取 Bilibili 全站热门排行榜全部数据（返回 100 条）""" url = "https://api.bilibili.com/x/web-interface/ranking/v2" params = { "rid": "0", "type": "all", "arc_type": "0" } headers = { "User-Agent": "Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/124.0.0.0 Safari/537.36", "Referer": "https://www.bilibili.com/v/popular/rank/all", "Accept": "application/json, text/plain, */*", "Accept-Language": "zh-CN,zh;q=0.9", "Origin": "https://www.bilibili.com" } try: print("正在获取 Bilibili 热门排行榜数据...\n") response = requests.get(url, params=params, headers=headers, timeout=15) response.raise_for_status() data = response.json() if data.get("code") != 0: print(f"API 返回错误: {data.get('message', '未知错误')}") return [] videos = data.get("data", {}).get("list", []) if not videos: print("未获取到视频数据，请稍后重试。") return [] return videos except requests.exceptions.Timeout: print("请求超时，请检查网络连接后重试。") except requests.exceptions.ConnectionError: print("网络连接失败，请确认可以访问 Bilibili。") except json.JSONDecodeError: print("数据解析失败，API 可能返回了非 JSON 内容。") except Exception as e: print(f"发生错误: {e}") return [] def get_popular_videos(requests): """备用接口：获取 Bilibili 热门推荐（返回约 20 条）""" url = "https://api.bilibili.com/x/web-interface/popular" params = {"ps": "50", "pn": "1"} headers = { "User-Agent": "Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/124.0.0.0 Safari/537.36", "Referer": "https://www.bilibili.com/v/popular", "Accept": "application/json, text/plain, */*", "Accept-Language": "zh-CN,zh;q=0.9", "Origin": "https://www.bilibili.com" } try: print("正在尝试备用接口（综合热门推荐）...\n") response = requests.get(url, params=params, headers=headers, timeout=15) response.raise_for_status() data = response.json() if data.get("code") != 0: print(f"备用接口返回错误: {data.get('message', '未知错误')}") return [] videos = data.get("data", {}).get("list", []) if not videos: print("备用接口未获取到视频数据。") return [] return videos except Exception as e: print(f"备用接口也失败了: {e}") return [] def display_rank(videos, start_index, end_index): """显示指定排名范围的视频，并返回该范围的 (title, link) 列表""" links = [] total = len(videos) print("\n" + "=" * 65) print(f" Bilibili 热门视频 第 {start_index + 1} ~ {min(end_index, total)} 名") print("=" * 65) for i in range(start_index, min(end_index, total)): video = videos[i] rank = i + 1 title = video.get("title", "未知标题") bvid = video.get("bvid", "") link = f"https://www.bilibili.com/video/{bvid}" author = video.get("owner", {}).get("name", "未知UP主") stat = video.get("stat", {}) view = format_number(stat.get("view", 0)) danmaku = format_number(stat.get("danmaku", 0)) like = format_number(stat.get("like", 0)) coin = format_number(stat.get("coin", 0)) links.append((title, link)) print(f"\n【第 {rank} 名】") print(f" 标题: {title}") print(f" UP主: {author}") print(f" 播放: {view} | 弹幕: {danmaku} | 点赞: {like} | 投币: {coin}") print(f" 链接: {link}") print("\n" + "=" * 65) return links def open_links_in_browser(links, start_rank): """在默认浏览器中打开链接""" if not links: return end_rank = start_rank + len(links) - 1 print("\n" + "-" * 65) choice = input(f"\n是否打开第 {start_rank} ~ {end_rank} 名的视频链接？(y/n): ").strip().lower() if choice not in ("y", "yes", "是"): print("已取消打开链接。") return print(f"\n正在一次性打开 {len(links)} 个视频链接…") for title, link in links: webbrowser.open(link) print(f"\n第 {start_rank} ~ {end_rank} 名的链接已全部打开！") def ask_continue(): """询问是否继续下一组""" print("\n" + "-" * 65) choice = input("\n是否继续获取下一组视频？(y/n): ").strip().lower() return choice in ("y", "yes", "是") def main(): print("=" * 65) print(" Bilibili 热门视频排行榜抓取工具") print(" 支持分页浏览、一键打开、循环获取") print("=" * 65) print() # 确保 requests 已安装 requests = ensure_requests() if requests is None: print("\n无法继续，缺少必要的依赖库。") return # 获取全部数据 videos = get_bilibili_hot(requests) # 如果主接口失败，尝试备用接口 if not videos: print("\n主接口获取失败，尝试备用接口...\n") videos = get_popular_videos(requests) if not videos: print("\n未能获取到任何视频数据。") return total = len(videos) print(f"成功获取 {total} 条视频数据，正在按每组 10 个展示...\n") # 分页循环：每 10 个一组 page_size = 10 current_index = 0 while current_index < total: start_rank = current_index + 1 end_index = current_index + page_size # 显示当前组 links = display_rank(videos, current_index, end_index) # 询问是否打开 open_links_in_browser(links, start_rank) # 移动到下一组 current_index += page_size # 如果还有数据，询问是否继续 if current_index < total: if not ask_continue(): print("\n已停止获取。") break else: print(f"\n全部 {total} 条视频已展示完毕！") break print("\n\n运行完毕！") if __name__ == "__main__": try: main() except KeyboardInterrupt: print("\n\n用户中断了程序。") finally: # Windows 下双击运行时不闪退 input("\n按回车键退出...") 然后我还想做某音的，更有目的性的去获取一些起号视频，可惜目前是失败了，好像是反扒问题还是登陆问题。。老老实实看热点宝吧 6 个帖子 - 2 位参与者 阅读完整话题
IT之家 4 月 14 日消息，由深圳市东正光学技术股份有限公司研制的首款国产全画幅自动对焦变焦镜头 Thypoch 叙 Voyager 旅行者 AF 24-50mm F2.8 出现在中国国际照相机械影像器材与技术博览会《华龙奖》评选投票页中，由此曝光了更多细节。 投票页面显示，Thypoch 推出的全画幅自动对焦恒定 F2.8 大光圈变焦镜头， 覆盖 E/Z/L 多卡口 ，主打轻便紧凑、高画质、强对焦，填补国产自动变焦镜头市场空白。 IT之家附核心亮点如下： 高画质 ：中心 / 边缘解析力接近甚至优于索尼同规格镜头，色散、畸变控制优秀，色彩还原更精准，眩光光斑表现出色 便携轻量化 ：内变焦设计，体积小巧、重心稳定，远轻于传统 24-70mm F2.8 镜头，适合长时间携带与日常创作 对焦性能强劲 ：AFS / AFC 对焦速度与精准度接近索尼，弱光环境下依然稳定可靠 高性价比 ：仅为索尼同规格产品一半左右，还支持 Type-C 固件升级 设计精致实用 ：斜纹胶圈、金色铭牌、有级光圈环、FN 自定义键，兼顾颜值与操控