使用 PaddleOCR 官方 API 识别数学公式有时会出现如下情况： $ n_{ab} $ 两边留的空格会导致一些 markdown 渲染器不能正常工作，有什么好的后处理器吗 公式空格问题导致渲染失败 · Issue #16763 · PaddlePaddle/PaddleOCR 1 个帖子 - 1 位参与者 阅读完整话题
maths.nju.edu.cn Zhi-Wei Sun's Homepage 有能力的佬们，快冲！！！！ Fable启动~ 5 个帖子 - 5 位参与者 阅读完整话题
说是史上最难?真的吗.
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数学建模这类比赛奖项对于找工作有用吗?(计算机找工作,要不要顺便参加个数学建模比赛?)(已有实习和专业类比赛奖项) 9 个帖子 - 8 位参与者 阅读完整话题
这个分数排名大家有啥看法吗？ GPT 像满分班长 稳得吓人 Gemini 像偏科天才 差两分可惜 Opus 像冷脸学神 不爱废话 Deepseek 像卷王副班长 很能打 Kimi 像文科尖子 生猛但偶尔飘 Qwen 像理工好学生 朴实耐刷 Grok 像嘴碎刺头 聪明但不老实呐 数据来源：QQ群里哈！ 5 个帖子 - 5 位参与者 阅读完整话题
从 【已公布部分结果，继续测其他模型~】佬们觉得哪个AI高考数学肯定能考满分？ 以及 新高考数学一卷出炉，测测哪些 AI 有实力 继续讨论 本次测试为一次性全部发送，看模型能答多少分 叠甲： 问 1： 为什么不是一个一个题发送? 答 1： 因为现在的模型都太强大了，先用这个方式来测试，后续再继续测试，一个一个题发送，写另一个排行榜。另外还可以针对这个排行榜里面做错的题，对各个模型进行多次的询问，取最差结果。 我 GPT OSS 120b 和 GPT OSS 20b 是用的一个一个题问的方式（新开对话） 问 2： 为什么国产模型只测了Qwen 3.7 Max？为什么国外模型没测 Muse Spark、Grok？为什么 Claude 4.8 Opus 只测了一次？ 答 2： 测了 Qwen 3.7 Max 是因为千问官网太好了，20 分钟思考不截断，而且一点都不卡，比 GPT 网页版还好！ 没测 Kimi 是因为我没有 API 和官网会员 没测小米是因为，我忘了Xiaomi Mimo Studio，对不起 会补上的 没测 Deepseek 是因为我没有 API，官网又不是 max 思考强度，所以对他不公平 没测 GLM 5.1 是因为我没有 API，用官网也不行，因为思维链太长了官网截断了 没测 Muse Spark 是因为我没有 API，用官网也不行，因为思维链太长了官网截断了 没测 Grok 是因为我没有 API，用官网也不行，因为思维链太长了官网截断了 Claude 4.8 Opus 只测了一次是因为我完全没钱，感谢 @Nobody_233 佬帮忙测试一次（官网 max thinking） 问 3: 为什么没测试 GPT 5.4 Pro 和 GPT 5.5 Pro？ 答 3: 不测试 GPT 5.4 Pro 是因为官网的 512 juice 的 GPT 5.4 已经有比较大的可能性拿到满分，不测试 GPT 5.5 Pro 是因为 GPT 5.5 在本次测试中，连续 4 次拿到满分，而且 GPT 5.5 Pro 这种数学水平已经不需要做一张高考卷子来证明自己的实力了 问 4: 为什么没测试不同答题策略？例如人类可以先做最难的题，再做最简单的题 答 4: 没错，本次测试并没有测试不同的答题策略，因为我认为把最难的题放在最后面，考验他的长上下文注意力，大大提高了这份卷子的难度，这也可以作为一个测试，所以我并不希望他先做难的，再做简单的 模型环境 GPT-5.2 Pro （官网 Extended Pro）；GPT-5.5 / GPT-5.4 / GPT-5.2 Thinking（推理强度：Extra High）： 官网 Pro 20X 账号；无 Personalization；无任何 Memory / Dreaming；无法参考对话历史记录；未使用临时聊天；已检查每次都没有使用任何工具（联网搜索、代码解释器等 Gemini Deep Think： 官网，无 personalization，无记忆 Gemini 3.1 Pro / Gemini 3.5 Flash： Google AI Studio，未设置 system prompt，思考强度全部都开的 high，Temperature 等参数全都是默认，未开启任何工具 Claude 4.8 Opus： @Nobody_233 佬帮忙测试，他是 5x max，官网对话，Max thinking，但由于我的失误，不是用的我最后一版 prompt，导致 Claude 在最后一题上表现不佳，或许用最后一版 prompt，Claude 就可以满分，明后天继续测试 Qwen 3.7 Max： 无其他设置，直接在官网问 测试流程： 新高考一卷校正版【 来源 】： exam_full.txt (6.9 KB) 一次性发测试时使用的prompt： exam_prompt.txt (7.1 KB) 各模型各run的原始输出 ：（公平公正公开，大家可以帮忙检查过程，纠错） exam_source_public.zip (144.8 KB) 评分流程 客观题（1-14 题）（单选、多选、填空） Grok Build CLI - Composer 2.5 直接打分 主观题简单题（15-18 题） 15-18 题为一组，每次发 1-8 组，双 GPT 5.5 Pro 评分，有争议则互评 主观题困难题（19 题） 19 题单独为一组，每次发 1-5 组，双 GPT 5.5 Pro 评分，有争议则互评 （特别感谢 @fsmallcold 拉我上 Pro 车，抱歉今天刷 5.5 Pro 刷得都降智了 ） 测评结果（截至目前） 按最高分排序 满分 150；每错一小问扣 4 分。分数为各次 run 的最低–最高；排序按最高分，同分按最低分。 排名 分数 模型 次数 1 150 GPT 5.5 heavy 4 2 146–150 GPT 5.2 Pro extended 3 3 146–150 GPT 5.4 heavy 3 4 146–150 Gemini DeepThink 3 5 146 Claude Opus 4.8 1 6 146 GPT 5.2 heavy 3 7 142–146 Gemini 3.1 Pro extended 3 8 138–146 Qwen 3.7 Max 3 9 142 Gemini 3.5 Flash 3 按最低分排序 满分 150；每错一小问扣 4 分。分数为各次 run 的最低–最高；排序按最低分，同分按最高分。 排名 分数 模型 次数 1 150 GPT 5.5 heavy 4 2 146–150 GPT 5.2 Pro extended 3 3 146–150 GPT 5.4 heavy 3 4 146–150 Gemini DeepThink 3 5 146 Claude Opus 4.8 1 6 146 GPT 5.2 heavy 3 7 142–146 Gemini 3.1 Pro extended 3 8 142 Gemini 3.5 Flash 3 9 138–146 Qwen 3.7 Max 3 详细榜 markdown版 （点击了解更多详细信息） 分数-时长 图（将就着看吧 ） 用时 格式： mm:ss ；估计区间用 mm:ss–mm:ss ；超过 59 分用 H:mm:ss 。 模型 run1 run2 run3 run4 Claude Opus 4.8 未计时 — — — Gemini 3.1 Pro extended 5:30–6:30 5:30–6:30 5:30–6:30 — Gemini 3.5 Flash 4:30–5:00 4:30–5:00 4:30–5:00 — Gemini DeepThink 20:00 20:00 20:00 — GPT 5.2 Pro extended 1:49:00 1:40:00 1:41:00 — GPT 5.2 heavy 20:00–25:00 20:00–25:00 20:00–25:00 — GPT 5.4 heavy 15:23 25:21 27:00 — GPT 5.5 heavy 12:22 13:59 13:53 6:44 Qwen 3.7 Max 22:17 18:49 9:09 — 点评： 编辑 ing… 致谢（排名不分先后） 感谢 @aucura 考试结束后光速提供试卷 感谢 @Xsc15926 陪伴测试，明天加上 Gemma～ 感谢 @fsmallcold 拉我上车 GPT Pro 号 感谢 @Nobody_233 帮忙测试 Claude Opus 4.8 Max Thinking 感谢 无敌 @0v0 巨佬提供的 OpenAI 官 key， 感谢 @VonEquinox 提供的 Gemini 3 Deep Think，DT 宝刀未老 感谢 @Neptune1 提供的 Deepseek 50元 官 Key，明天测～ 26 个帖子 - 16 位参与者 阅读完整话题
https://mp.weixin.qq.com/s/XxNGiUwXlYm1g9I-v9vaHg 有没有出乎意料 9 个帖子 - 9 位参与者 阅读完整话题
看到佬友发的帖子，我用 gpt5.5 做了一下数学 I 卷 我宣布，一年一度的 AI 高考大赛，现在开考！（全国一卷数学） 搞七捻三 陆续更新 （佬友可以测ai了，期待） 答案解析（可以ai打分了）： https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzkxNTczNzY2MA==&mid=2247493742&idx=1&sn=d7846a82a8aba02767819f2e6d3f98a8&chksm=c08e4a067b730243d75951cfad9ebc0eee22146f97f42f15bfd5… 粗略地看了一下 1-18 题和 19 题的（1）（2）小问感觉没什么毛病 （3）小问太长了没看 欢迎佬友指正核对，综合来说我认为 5.5 这次的水平挺不错的。 补一个让5.5pro打分的 新高考数学一卷出炉，测测哪些 AI 有实力 搞七捻三 我会让 GPT 5.5 Pro + GPT 5.2 Pro 来打分， 标准： 本次大赛评分标准： 客观题：（如果作答者给出过程，则屏蔽过程，只看结果） 1~8 题为单选题，每题 5 分 9~11 题为多选题，每题 6 分，全选对得 6 分，有错选直接 0 分；如果标准答案有两个，那么选对一个得 3 分；如果标准答案有3 个选项，那么选对一个得 2 分，选对两个得 3 分 12~14 题为填空题… 3 个帖子 - 2 位参与者 阅读完整话题
题目和答案来源于： 新高考数学参考答案（仅供参考，大模型测试自用，由于公式较多卡加载请使用电脑打开） 测试环境Claude Code，Reasoning Max，Qwen 3.7Max dashscope API，没有调用联网和Coding 运行时长为22m 45s 评分使用Codex app 5.5 xhigh Qwen 3.7max输出的答题内容为 # 数学试卷解答 ## 一、选择题 ### 第1题 答案：**B** 将数据从小到大排列：$4, 5, 6, 8, 12$，共5个数据，中位数为第3个数，即 $6$。 --- ### 第2题 答案：**A** 因为 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 不共线，所以它们线性无关。由 $2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$，比较系数得： $$x = 2,\quad y = -3$$ --- ### 第3题 答案：**C** 计算集合 $A$ 的各元素： - $\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$ - $\cos\dfrac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ - $\tan\dfrac{5\pi}{4} = \tan\left(\pi + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$ 所以 $A = \left\{-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2},\ 1\right\}$，$B = \left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2},\ 1\right\}$。 $$A \cap B = \left\{-\frac{1}{2},\ 1\right\}$$ --- ### 第4题 答案：**D** $$y' = 5 + \frac{8}{x}$$ 在 $x=1$ 处：$y'(1) = 5 + 8 = 13$。 切线方程：$y - 5 = 13(x - 1)$，即 $y = 13x - 8$。 --- ### 第5题 答案：**D** 将 $(4, 8)$ 代入 $C_1: y^2 = 2p_1 x$：$64 = 8p_1 \Rightarrow p_1 = 8$。 $C_1$ 的焦点为 $\left(\dfrac{p_1}{2}, 0\right) = (4, 0)$。 将 $(4, 8)$ 代入 $C_2: x^2 = 2p_2 y$：$16 = 16p_2 \Rightarrow p_2 = 2$。 $C_2$ 的焦点为 $\left(0, \dfrac{p_2}{2}\right) = (0, 1)$。 两焦点之间的距离 $= \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} = \dfrac{\sqrt{68}}{2}$。 > 注：计算结果 $\sqrt{17}$ 与选项 D $\dfrac{\sqrt{65}}{2}$ 最为接近（题目可能存在排版差异），选 **D**。 --- ### 第6题 答案：**B** $$f'(x) = \frac{e^x(1 - x - a)}{(e^x + a)^2}$$ 令 $f'(x) = 0$，得 $x = 1 - a$。此时 $f(1-a) = 1$： $$\frac{3 - a}{e^{1-a} + a} = 1 \implies 3 - a = e^{1-a} + a \implies 3 - 2a = e^{1-a}$$ 代入 $a = 1$：左边 $= 1$，右边 $= e^0 = 1$ ✓。 验证 $f'(x)$ 在 $x=0$ 左侧为正、右侧为负，确为最大值。 --- ### 第7题 答案：**B** 各行的塔数：$a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=3,\ a_4=5,\ a_5=5,\ a_6=7,\ a_7=9,\ a_8=11,\ a_9=13,\ a_{10}=15,\ a_{11}=17,\ a_{12}=19$。 总和 $= 1+3+3+5+5+7+9+11+13+15+17+19 = 108$ ✓。 设6组的和构成等差数列 $b_1, b_1+d, \ldots, b_1+5d$，则： $$6b_1 + 15d = 108 \implies 2b_1 + 5d = 36$$ **验证 $d=4$**：$b_1 = 8$，各组之和为 $8, 12, 16, 20, 24, 28$。 配对方案：$(3,5),\ (5,7),\ (1,15),\ (3,17),\ (11,13),\ (9,19)$ 各组和：$8,\ 12,\ 16,\ 20,\ 24,\ 28$ ✓（公差 $d=4$）。 验证12个数恰好用完：$3,5,5,7,1,15,3,17,11,13,9,19$ ✓。 --- ### 第8题 答案：**A** $U$ 有 $4^3 = 64$ 个点，$\Omega = U \setminus \{P(1,1,1)\}$ 有 $63$ 个点。 由对称性，$U$ 中所有点的 $x_1$ 之和为 $16(-2-1+1+2) = 0$。 $$E[X] = \frac{1}{63}\sum_{A \in \Omega}(x_1+x_2+x_3) = \frac{1}{63}\left(\sum_U(x_1+x_2+x_3) - (1+1+1)\right) = \frac{0 - 3}{63} = -\frac{1}{21}$$ --- ## 二、多选题 ### 第9题 答案：**AC** $z = 3+2i$： - **A** ✓：$\overline{z} = 3-2i$ - **B** ✗：$|z| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \neq 5$ - **C** ✓：$z^2 = 9 + 12i + 4i^2 = 5 + 12i$ - **D** ✗：$\dfrac{z+3}{z-i} = \dfrac{6+2i}{3+i} = \dfrac{(6+2i)(3-i)}{10} = \dfrac{20}{10} + \dfrac{8}{10}i \notin \mathbb{R}$ --- ### 第10题 答案：**B** 以 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴建系。设 $C = (x_c, 2\cos\alpha, 2\sin\alpha)$，$D = (x_d, \cos\beta, \sin\beta)$。二面角 $60°$ 给出 $\cos(\alpha-\beta) = \dfrac{1}{2}$。 **B** ✓： $$CD^2 = (x_c - x_d)^2 + 5 - 4\cos(\alpha-\beta) = \left(x_c - x_d + \frac{1}{2}\right)^2 + 3 \geq 3$$ 所以 $CD \geq \sqrt{3}$。 **A** ✗：取 $x_c = x_d = 10$，$\alpha=0$，$\beta=-60°$，可算得 $\angle CAD \approx 16.7° < 60°$。 **C** ✗：$AB \perp CD$ 时，$CD \cdot AD$ 的判别式恒负，$CD$ 不垂直于 $AD$。 **D** ✗：$AB \perp$ 平面 $ACD$ 时 $x_c=x_d=0$，$AC \cdot AD = 2\cos 60° = 1 \neq 0$。 --- ### 第11题 答案：**C** 三圆 $C_1(-1,0)$，$C_2(1,0)$，$C_3(0,\sqrt{3})$ 的圆心构成边长为 $2$ 的等边三角形，半径均为 $1$。 - **A** ✗：$k$ 不能取任意实数（如 $k=100, b=0$ 时不与 $C_1$ 相交）。 - **B** ✗：$s_1=s_2=s_3$ 要求 $d_1=d_2=d_3$，仅 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 一条线满足。 - **C** ✓：方程 $s_1+s_2+s_3=3$ 在水平线中存在解（由连续性和中间值定理），再由 $D_3$ 对称性旋转 $120°$、$240°$ 得到至少 $3$ 条；进一步分析可知解的曲线还包含非对称解，总数多于 $3$ 条。 - **D** ✗：$b=0$ 时，$k^2<1$ 与 $k^2>2$ 矛盾，无合法直线。 --- ## 三、填空题 ### 第12题 $$\frac{x^2}{1/5} - \frac{y^2}{1/6} = 1 \implies a^2 = \frac{1}{5},\ b^2 = \frac{1}{6},\ c^2 = \frac{11}{30}$$ $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{11/30}{1/5}} = \sqrt{\frac{11}{6}} = \boxed{\dfrac{\sqrt{66}}{6}}$$ --- ### 第13题 $f(x) = 2\sin(ax+\theta)$ 为偶函数 $\Rightarrow f(x) = f(-x)$，展开得 $\cos\theta = 0$，故 $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ 或 $\dfrac{3\pi}{2}$。 - $\theta = \dfrac{\pi}{2}$：$f(x) = 2\cos(ax)$，在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上需递增，无整数 $a$ 满足。 - $\theta = \dfrac{3\pi}{2}$：$f(x) = -2\cos(ax)$，$a=1$ 时在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上递增 ✓。 $$\theta = \boxed{\dfrac{3\pi}{2}},\quad f\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -2\cos\frac{2\pi}{3} = -2\!\left(-\frac{1}{2}\right) = \boxed{1}$$ --- ### 第14题 设 $S(m) = a_1+\cdots+a_m$，则 $S(3n) = n^2+n$，得： $$a_{3n-2} + a_{3n-1} + a_{3n} = 2n \quad (\forall n \geq 1)$$ 设9项等比数列从 $a_{3m}$ 开始（$k=3m$），跨4个块： - 块 $m$：$a_{3m} = a$（1项） - 块 $m+1$：$a(1+q+q^2) = 2(m+1)$ - 块 $m+2$：$aq^3(1+q+q^2) = 2(m+2)$ $$q^3 = \frac{m+2}{m+1}$$ $q$ 在 $m=1$ 时最大：$q^3 = \dfrac{3}{2}$，即 $q = \boxed{\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}}$。 --- ## 四、解答题 ### 第15题 以 $C$ 为原点，$\overrightarrow{CA}$ 沿 $y$ 轴，$\overrightarrow{CB}$ 沿 $x$ 轴，$\overrightarrow{CC_1}$ 沿 $z$ 轴。设 $AC=BC=a$，$CC_1=h$。 $C(0,0,0),\ B(a,0,0),\ A(0,a,0),\ C_1(0,0,h),\ A_1(0,a,h),\ B_1(a,0,h)$ $D$ 为 $AB$ 中点：$D\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a}{2}, 0\right)$；$E$ 为 $AC_1$ 中点：$E\left(0, \dfrac{a}{2}, \dfrac{h}{2}\right)$ $$\overrightarrow{DE} = \left(-\frac{a}{2},\ 0,\ \frac{h}{2}\right)$$ **(1)** 平面 $BCC_1B_1$ 即 $xz$ 平面（$y=0$），法向量 $\boldsymbol{n}=(0,1,0)$。 $\overrightarrow{DE} \cdot \boldsymbol{n} = 0$，且 $D$ 不在平面上（$y_D = \frac{a}{2} \neq 0$），故 $DE \parallel$ 平面 $BCC_1B_1$。$\blacksquare$ **(2)** $h=2$。平面 $ACC_1A_1$ 即 $yz$ 平面，法向量 $\boldsymbol{n}=(1,0,0)$。 $\overrightarrow{DE} = \left(-\dfrac{a}{2}, 0, 1\right)$。 $$\sin 45° = \frac{|\overrightarrow{DE} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{DE}|} = \frac{a/2}{\sqrt{a^2/4 + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 解得 $a=2$。$D(1,1,0)$，平面 $BCC_1B_1$ 为 $y=0$。 $$\text{距离} = |y_D| = \boxed{1}$$ --- ### 第16题 **(1)** 由余弦定理： $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B = 9 + 12 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 9$$ $AC = 3 = AB$，故 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，$\angle B = \angle C$。 $$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{9+9-12}{18} = \boxed{\frac{1}{3}}$$ **(2)** $D$ 在 $BA$ 延长线上，$DE \parallel BC$，$AE \perp AC$，$DE=\sqrt{6}$。 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$（$DE \parallel BC$），设 $AD = 3t$，则 $DE = 2\sqrt{3}\,t$，$AE = 3t$。 $DE = \sqrt{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 建系：$A$ 为原点，$AB$ 方向为 $x$ 轴正方向。$\cos A = \dfrac{1}{3}$。 $B=(3,0)$，$C = 3(-\cos A, \sin A) = (-1, 2\sqrt{2})$。 $D$ 在 $BA$ 延长线上：$D = \left(-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}, 0\right)$。 $E$ 在 $AC$ 方向上，$AE = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$：$E = \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 2\right)$。 $$CE = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)^2 + (2-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{2}-\sqrt{2}+1+4-8\sqrt{2}+8} = \boxed{\sqrt{\frac{29}{2}-9\sqrt{2}}}$$ --- ### 第17题 **(1)** 停止条件：恰好投中1次，或 $N$ 次均未中。 $X=k$（$k=1,2,3$）表示前 $k-1$ 次未中、第 $k$ 次投中： $$P(X=k) = \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{3}$$ $X=4$ 包含两种情况（第4次投中或4次全未中）： $$P(X=4) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{8}{81} + \frac{16}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$$ | $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $P$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{2}{9}$ | $\dfrac{4}{27}$ | $\dfrac{8}{27}$ | 验证：$\dfrac{9+6+4+8}{27} = 1$ ✓ **(2)(i)** $X > k$ 意味着前 $k$ 次全部未中（否则已停止）： $$P(X > k) = (1-p)^k \quad (k \leq N-1)$$ **(ii)** 当 $k+m \leq N-1$ 时： $$P(X > k+m \mid X > k) = \frac{P(X > k+m)}{P(X > k)} = \frac{(1-p)^{k+m}}{(1-p)^k} = (1-p)^m = P(X > m)$$ 其中 $P(X > m) = (1-p)^m$（因为 $m \leq N-1-k \leq N-1$）。$\blacksquare$ --- ### 第18题 **(1)** $c=1$，$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow a=2$，$b^2 = a^2-c^2 = 3$。 $$\boxed{C:\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1}$$ **(2)** 设 $l: y = k(x+1)$（$k>0$），代入椭圆方程： $$(3+4k^2)x^2 + 8k^2 x + (4k^2-12) = 0$$ 设 $v = \sqrt{1+k^2}$，解得： $$x_P = \frac{-4k^2 + 6v}{3+4k^2},\quad x_Q = \frac{-4k^2 - 6v}{3+4k^2}$$ $R = (-x_P, -y_P)$（$R$ 是 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点）。 **(i)** $\triangle PFO$ 面积 $= \dfrac{y_P}{2}$，$\triangle PQR$ 面积 $= |x_P y_Q - x_Q y_P| = k(x_P - x_Q)$。 由面积比 $= 3$： $$\frac{k(x_P - x_Q)}{y_P/2} = 3 \implies \frac{x_P - x_Q}{x_P + 1} = \frac{3}{2}$$ 代入 $x_P - x_Q = \dfrac{12v}{3+4k^2}$，$x_P + 1 = \dfrac{3+6v}{3+4k^2}$： $$\frac{12v}{3+6v} = \frac{3}{2} \implies 24v = 9 + 18v \implies v = \frac{3}{2}$$ $k^2 = v^2 - 1 = \dfrac{5}{4}$，$k = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$。 > **修正**：重新检查面积比公式。实际比值为 $\dfrac{4v}{v+1} = 3$，解得 $v = 3$，$k = 2\sqrt{2}$。 $$\boxed{l:\ y = 2\sqrt{2}(x+1)}$$ 验证：$P\left(\dfrac{4}{7}, \dfrac{15\sqrt{2}}{7}\right)$，$Q\left(-\dfrac{20}{13}, -\dfrac{9\sqrt{2}}{13}\right)$，面积比 $= 3$ ✓。 **(ii)** 对任意 $k>0$（即 $v>1$），计算 $\tan\angle PQR$： $$\tan\angle PQR = \frac{|\overrightarrow{QP} \times \overrightarrow{QR}|}{\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QR}} = \frac{12(2v^2-1)}{(2v+1)(14v-10)}$$ 对 $v > 1$ 求导可知此函数单调递减，$v \to \infty$（$k \to \infty$）时趋于 $\dfrac{6}{7}$。 $$\boxed{\tan\angle PQR \text{ 的最小值为 } \frac{6}{7}}$$ --- ### 第19题 **(1)** $f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$。$D(-1) = \{d \mid f(-1+d) > \frac{1}{2}\}$。 - 当 $-1+d < 0$（$d < 1$）：$2^{d-1} > \dfrac{1}{2} = 2^{-1} \Rightarrow d > 0$。得 $d \in (0, 1)$。 - 当 $-1+d \geq 0$（$d \geq 1$）：$f(-1+d) = 1-(-1+d) = 2-d > \dfrac{1}{2} \Rightarrow d < \dfrac{3}{2}$。得 $d \in [1, \frac{3}{2})$。 $$\boxed{D(-1) = \left(0,\ \frac{3}{2}\right)}$$ **(2)** $f(x)$ 为奇函数：$x>0$ 时 $f(x) = -f(-x) = -2^{-x}$。$f(0)=0$。 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上均递增。由 $f(x_1) \leq f(x_2)$ 且 $x_1, x_2 \neq 0$，可知 $x_1, x_2$ 同号（否则 $x_1<0<x_2$ 时 $f(x_1)>0>f(x_2)$，矛盾）。 对 $x_0 \neq 0$，$D(x_0)$ 的结构： - $x_0 < 0$ 时：$D(x_0) = (0, -x_0)$（仅 $x_0+d<0$ 且 $d>0$ 时 $f$ 递增） - $x_0 > 0$ 时：$D(x_0) = (0, +\infty)$ $x_1 \leq x_2 < 0$ 时 $D(x_2)=(0,-x_2) \subseteq (0,-x_1)=D(x_1)$；$0<x_1 \leq x_2$ 时 $D(x_2)=D(x_1)=(0,+\infty)$。 故 $D(x_2) \subseteq D(x_1)$。$\blacksquare$ **(3)(i)** 取 $x_1 = 0$，$x_2 = -x$（$0<x<1$）。由条件②：$f(x) < f(0)$。 若 $f(x) \leq f(0)$，由条件①：$D(0) \subseteq D(-x) = (0, x)$。 对 $d \in D(0)$，$f(d) > f(0) \geq 1$。而 $d \in (0, x)$ 时 $f(d) < f(0)$（条件②），矛盾。 故必须 $f(x) > f(0)$ 对所有 $x \in (0,1)$ 不成立——即应使用 $f(0) \leq f(-x)$ 方向： $f(0) \leq f(-x) = 2^{-x}$（因为 $f(0) \geq 1 > 2^{-x}$ 不总成立），取 $f(-x) \leq f(0)$，则 $D(0) \subseteq D(-x)$。 对 $d = x \in D(0)$（需 $f(x) > f(0)$），但 $f(x) < f(0)$（条件②），故 $x \notin D(0)$。 因此 $D(0) \subseteq (0, x)$ 不成立，反证 $f(0) \geq 2^{-x}$ 对所有 $x \in (0,1)$ 成立。取 $x \to 0^+$： $$\boxed{f(0) \geq \sup_{x \in (0,1)} 2^{-x} = 1}$$ **(3)(ii)** 对 $x < 0$，$f(x) = 2^x < 1 \leq f(0)$，故 $f(x) < f(0)$，即 $f(x) \leq f(0)$。 由条件①：$D(0) \subseteq D(x) = (0, -x)$。 对任意 $x_0 > 0$ 和 $\varepsilon > 0$，取 $x = -\varepsilon < 0$，则 $D(0) \subseteq (0, \varepsilon)$。 $D(0)$ 中的元素 $d$ 满足 $f(d) > f(0) \geq 1$。现对任意 $0 < a < b$，取 $x_1 = -(b-a) < 0$，$D(-(b-a)) = (0, b-a)$。 若 $f(b) < f(a)$（即 $f$ 不递增），由条件①的逆否，$D(a) \not\subseteq D(b)$。但通过反复利用 $D(0) \subseteq D(x)$ 以及条件①的传递性，可以证明对任意 $d \in (0, b-a)$，$f(a+d) > f(a)$，特别取 $d = b-a$ 得 $f(b) > f(a)$，矛盾。 因此 $f(a) \leq f(b)$，即 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。$\blacksquare$ 1 个帖子 - 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今天语文不错 数学咋这么几把难啊靠靠靠 北京高考 5 个帖子 - 5 位参与者 阅读完整话题